3. Математикалық модельдеудегі координаталар

3.1 Координаталардың түрленуі. Тензордың жалпы түсінігі

Айталық, координатасының жүйесі – , және координатасының жүйесі – – евклид кеңістігінде берілсін және

(1.72)

(1.72) өрнегі үзіліссіз, бірмәнді дифференциалданатын функциялар болсын. Онда

(1.73)

түріндегі анықтауыш түрлендіру якобианы деп аталады. Егер

(1.74)

болса, онда (1.72) теңдеу х_i – ге байланысты бірмәнді шешіледі:

. (1.75)

(1.72) формуладан келесі өрнек шығады:

. (1.76)

(1.75) теңдік қарсы вариантты (контравариант) вектор деп аталатын тензор класын анықтайды. Жалпы жағдайда Р – нүктесімен байланысқан шамалары бірінші рангілі қарсы вариантты тензор компоненттерін көрсетеді, егер координаталар түрлендіруінде бұл шамалар

(1.77)

заңымен түрленсе.

Қарсы вариатты тензорларды белгілеу үшін жоғары индекстер қолданылады. Алдында айтып өткен шамалардың компоненттері

(1.78)

ережесі бойынша түрленетін болса, онда бұл шамалар екінші рангілі қарсы вариантты тензор компоненттерін көрсетеді.

Айталық, болғанда

(1.79)

теңдігі орындалса ковариантты тензор берілді деп айтамыз.

Егер шамалары

(1.80)

ережесі бойынша түрленетін болса, онда екінші рангілі ковариантты тензор компоненттері берілді деп аталады. Мұндағы – жүйесіндегі вектордың ковариантты компоненті, – жүйесіндегі вектордың компоненттері. Екінші рангілі ковариантты тензорлар заңына бағынады.

, (1.81)

Аралас және мейлінше жоғары ретті ковариантты тензорлар

, (1.82)

(1.82) теңдігімен анықталады.